第一百五十九章 不想当刷题机器的陆兮尤其可怕
与傲雪的一番聊天让陆兮整个下午都神思不属,好不容易捱到放学,鱼幼薇和江采薇邀她一起去校门口的小吃摊吃东西。
陆兮哪里有胃口,正好黄先发拿了一道题过来。
“陆兮,能帮忙看看这道题吗,我们组好几个人都卡住了?”
虽然暂时不想做题,但奥数敢死队的请求还是需要给予协助的,大家都是组中人,向来互相帮助。
所以神情蔫蔫的陆兮振作精神接过草稿纸扫了一眼。
“对于正整数??,如果满足??^2+??+1恒为质数,求满足这一条件的最小??值。”
这个程度的题目?
陆兮眉头微蹙,不由得抬头看了黄先发和他那些围观的小伙伴们一眼。
他们虽然围过来了,却或是左顾右盼,或是冥思苦想,或是魂游天外,或是抓耳挠腮……
反正一个个都奇奇怪怪的。
陆兮也只能当他们真的不知道怎么做这道题了,正好婉拒了吃货们的邀请。
“笔来!”
旁边同时递过来6支造型各异花里胡哨的签字笔。
陆兮秉着就近原则,顺手拿了一支最近的,在草稿纸上写下二次多项式5个字。
这种程度的题目,哪里需要什么深思熟虑。
“表达式??^2+??+1是一个关于??的二次多项式。通过计算可以发现,对于任意正整数??,此表达式总是生成奇数。因为??^2+??是偶数,加1后为奇数。”
“质数的定义要求它是大于1的整数,并且没有其他因子,除了1和自身。因此,我们需要验证??^2+??+1。”
在这里我们可以用枚举尝试。
我们逐一代入??的值,检查??^2+??+1是否为质数:
当??=1时:??^2+??+1=1^2+1+1=3,3是质数
当??=2时:??^2+??+1=2^2+2+1=7,7是质数
当??=3时,??^2+??+1=3^2+3+1=13,13是质数
当??=4时,??^2+??+1=4^2+4+1=21,21不是质数
由此可见,满足条件的最小??是??=1
在这里,我们还可以推广验证,进一步分析是否存在无限多个??使得??^2+??+1恒为质数。对于大多数??,由于??是递增的多项式,因数的增长使其很快会变成非质数,因此满足此条件的??是有限的。
所以,这道题的关键在于观察??^2+??+1的性质和逐步代入验证。
“我这样说,大家应该可以理解。”
黄先发和他的小伙伴们忙不迭点头。
“理解,理解。”
不过就在他们准备作鸟兽散的时候,忽然听到已经要走的陆兮忽然来了一句。
“对于这道基础代入解题,你们还有什么想法吗?”
不是已经得出最小??值=1了吗?
还能有什么想法?
那个想法,他正经吗?
黄先发和他的小伙伴们面面相觑。
然后就看到陆兮又走了回来,拿过已经交还他们手上的笔和草稿纸。
“我刚刚想到,或许我们可以就这道题做一些延伸讨论。”
这道题有什么值得延伸讨论的地方吗?
黄先发和他的小伙伴们同时地铁老人问号脸。
陆兮过去是喜欢做题的,她的做题甚至已经进一步到了刷题的程度。
但在与傲雪的一番聊天之后,她总觉得学数学是要刷题的,但不应该止步于刷题。
人也不是刷题机器。
那么,不想沦为刷题机器,应该怎么做呢?
这是她这个下午在课堂上魂不守舍,思考了一个下午的问题。
带着这个疑问,在解答这道简单的基础代入解题时,她的脑子转得特别快,只是一会儿就想了很多很多。
所以此时此刻,她的脑海中生出了很多很多想法,有种一吐而后快的强烈倾诉欲。
看到黄先发和他的小伙伴胡文亮他们竖起耳朵,一副已经做好洗耳恭听的模样,陆兮不假思索说道:“表达式??^2+??+1是一个关于??的二次递推式,而质数生成的多项式一直是数论中的重要问题。”
“举个例子?”胡文亮觉得自己还是上道一些比较好。
陆兮于是顺口说道:“比如比较有名的欧拉的质数生成多项式:??^2+??+41,在??=0到39的范围内会生成质数。”
“事实上,对于??^2+??+1,它本质上是一个循环递推的形式,其特殊性质在于它与三次单位根的关系,比如,??^3?1=0的分解因式之一??^2+??+1的离散形式。”
“也就是说,它与三次单位根在复数域中的几何意义有关。”
“然后呢,有什么意义?”胡文亮皱着眉头问。
陆兮略一沉吟:“这种形式在有限域比如模??的整数环中有独特的行为,或许可以用来研究质数分布模式。”
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“所以这就是你说的深层次的延伸,好像还挺有趣的。”胡文亮眼前一亮,感觉自己似乎进入了一个新的境界,“可以细说一下怎么用来研究质数的分布模式吗?”
“在有限域比如模??的整数环中,研究表达式??^2+??+1的行为时,我们可以发现它特定的周期性和结构,这对于研究质数的分布模式有一定的启发作用,比如……”
草稿纸上,陆兮下笔如有神助。
研究??^2+??+1在模??下的行为,我们就可以考察表达式??^2+??+1在模??(??是质数)下是否能生成所有剩余类,或者是否会恒为非零。
1.在模3的情况:
??^2+??+1=0,模3对于任意??恒成立。
证明:??^2+??+1=??(??+1)+1
对于模3,有??和??+1总有一个能被3整除,因此??(??+1)恒为3的倍数,加1后结果就是0。
结论:在模3意义下,表达式恒为0。
2.在模5的情况:
我们列出??=0,1,2,3,4时??^2+??+1模5的值:
??=0???^2+??+1≡1模5
??=1???^2+??+1≡3模5
??=2???^2+??+1≡2模5
??=3???^2+??+1≡2模5
??=4???^2+??+1≡3模5
发现,表达式的值不覆盖所有剩余类,而是周期性地取{1,2,3}的子集。
结论:在模5意义下,表达式的值形成周期性序列。
3.一般??的情况:
我们关注??^2+??+1模??是否恒为非零或覆盖所有剩余类。
对于??=7,可以发现它的值可能为{1,2,3,4,5,6},但永远不会是0。
这种情况与??^2+??+1是否可以被模??整除,即是否有解密切相关。
“由此,我们可以得到以下两个现象。第一:如果??^2+??+1≡0模??没有解,则其值在模??下形成一个循环序列,且永不为零;第二:如果有解,??^2+??+1在模??下表现为具有根的多项式,其值会表现出不同的分布规律。”
“完了?”听得一头雾水的黄先发问。
“嗯。”
脸上现出一丝解脱的黄先发发现陆兮在点了点头后,却丝毫没有停下来的迹象。
“所以,??^2+??+1在模??的整数环中表现出的周期性和根的分布反映了递推式的数学特性,其实还能为数论中的质数生成问题提供研究工具。比如,伪随机数生成器和质数筛选。”
听到伪随机数生成器和质数筛选的胡文亮的眼神又亮了一下,发现不对的黄先发慌忙想要捂住他的嘴巴,可是胡文亮的下一句话已经脱口而出。
“能说说伪随机数生成器和质数筛选吗?”
“当然。”
已经理顺了思路的陆兮现在是有求必应。
“??^2+??+1在模??的周期性行为,可以被用作生成伪随机序列。通过调整模数??和初始值??_0得到不同的循环长度和分布特性。”
“模??的周期性可以用于研究类似表达式生成质数的可能性。如果表达式在模??下的根的分布有某种规律,可能为构造质数生成算法提供启发。”
“说完了?”
“综上所述,有限域中的行为常常能揭示整数域中的深层规律,为质数的分布模式提供理论支撑。”
已经听到晕头转向的黄先发听陆兮的话里总算来了综述两个字,不由得长长吐了一口气。
我真傻,真的。
但知道陆兮擅长解题,不知道她还擅长总结题目背后的数学思想。
一道被他拿出来耍乐子用的八九年级的练习题,硬是让她总结出来了题目背后的递推关系和质数生成规律。
辅导老师都没有这么能说的。
胡思乱想着,本以为终于结束的陆兮式数学课堂的黄先发准备拿回去草稿纸,不料陆兮忽然又来了一句。
“其实这道题背后不仅仅只有递推构造和质数生成。”
黄先发抬头,看到陆兮容光焕发,神采飞扬,眼瞅着这一次是不听完,走不了了,干脆一咬牙,正襟危坐回去。
一副还有什么,一并倾泻过来的大义凛然英勇就义的表情。
“我想了一下,这道题其实还能延伸到多项式的质数性问题,模算术和周期性,代数数论中的几何意义,质数分布渐近分析等等。”
“就拿其中的多项式质数性问题来说吧,这道题完全可以作为经典例子来讨论一下巴赫猜想。”
……
这下好了,让她说,她说到巴赫猜想去了。
这可是巴赫猜想,猜想啊,她能说到什么时候?