第494章 41.幂塔

幂塔，何为幂塔？指数塔？不不不，这就需要涉及到集合论中的“幂集公理”了。

幂集公理：对于任意集合，其所有子集组成的集合被称之为幂集，幂集的势远大于该集合本身。

在广义连续统假设成立的情况下，阿列夫n的幂集就是阿列夫n+1。

那么幂塔就是如同指数塔是连续不断的次方次方次方……一般，是取幂集之后再取幂集再取幂集？不不不，连续取幂集虽然也可以被叫做幂塔，但不是我说的那种幂塔，连续取幂集这种行为我这里就姑且称之为“连续幂塔”，和我这里说的“幂塔”区分开来。

对于任意集合A，我们称P（A）是A的幂集。

假设A集合的势和构造为｛1，2，3，4，5｝，

则P（A）的势和构造则为｛｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝，｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，4｝，｛1，5｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛2，5｝，｛3，4｝，｛3，5｝，｛4，5｝，｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛1，2，5｝，｛1，3，4｝，｛1，3，5｝，｛1，4，5｝，｛2，3，4｝，｛2，4，5｝，｛3，4，5｝，｛1，2，3，4｝，｛1，2，4，5｝，｛1，2，3，5｝，｛1，3，4，5｝，｛2，3，4，5｝，｛1，2，3，4，5｝｝

P（P（A））、P（P（P（A）））、……等等等等“连续幂塔”的构造我就不写出来了。

在上述集合之中，集合A并没有幂塔结构，但集合A的幂集、幂集的幂集、……等等等等，皆存在幂塔结构，故幂塔是只有幂集才存在的一类特殊结构。

那么说了这么多，那么到底什么才是幂塔呢？

幂塔的定义其实很简单——每一个幂集都存在一个属于自己的“幂塔”，假设存在一座抽象塔，这座塔一共n层，第n层的组成单元就是该幂集里全部的“拥有n个元素的集合（由于幂集是集合的所有子集组成的集合，所以幂集的所有元素都是集合）”所组成。

以集合A为例，集合A一共五个元素，所以P（A）的幂塔最高层数是“等势于集合A”层，也就是五层。

同理类推，P（P（A））的幂塔最高是等势于P（A）层。

P（P（P（A）））的幂塔最高层是等势于P（P（A））层。

……如此类推。

那么集合A的幂集，也就是P（A）的幂塔最高为五层，每一层的构造分别为：

第一层——只有一个元素的集合：｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝。

第二层——只有两个元素的集合：｛1，2｝，｛1，3｝，｛1，4｝，｛1，5｝，｛2，3｝，｛2，4｝，｛2，5｝，｛3，4｝，｛3，5｝，｛4，5｝。

第三层——只有三个元素的集合：｛1，2，3｝，｛1，2，4｝，｛1，2，5｝，｛1，3，4｝，｛1，3，5｝，｛1，4，5｝，｛2，3，4｝，｛2，4，5｝，｛3，4，5｝。

第四层——只有四个元素的集合：｛1，2，3，4｝，｛1，2，4，5｝，｛1，2，3，5｝，｛1，3，4，5｝，｛2，3，4，5｝。

第五层——只有五个元素的集合：｛1，2，3，4，5｝。

这就是P（A）的幂塔，某种程度上来说，P（A）幂塔是对集合A的所有子集，依照势的大小，也就是元素数量的多少，依次归类于幂塔的第n层，势为a则是幂塔第a层。

幂塔分为封闭幂塔和开放幂塔。

一切有限集的幂塔皆为封闭幂塔，一切无限集（各种阿列夫数、贝斯数、大基数、……等等等等）的幂塔皆为开放幂塔。

封闭幂塔和开放幂塔的区别在哪？

继续以集合A为例，将P（A）的幂塔的每一层都看做一个集合，该集合的元素就是上述的那些。

由此我们可以得到：

幂塔第一层的势为5。

幂塔第二层的势为10。

幂塔第三层的势为9。

幂塔第四层的势为5。

幂塔第五层的势为1。

对于每一个有限的幂集来说，其幂塔的最大层数是第二层，越过了第二层后幂塔每一层的大小就依次减小。

而对于一个无限集来说，幂塔的每一层依次变大！

因为如果是封闭幂塔，其集合的元素数量有限，其排列组合方式必然随着元素的加多而减少，而对于开放幂塔来说这不一样，集合的元素无限，想怎么排列组合就怎么排列组合。

比如说自然幂塔（自然数集的幂集的幂）的第一层所有｛n｝可以和第二层的所有｛1，n｝形式的集合进行一一对应，而后续还有｛2，n｝，｛3，n｝，……等等等等形式的集合，在第一层找不到对应的。

（n为任意自然数）

而对于第三层来说，所有第二层的所有｛a，b｝都可以被｛1，a，b｝形式的集合所对应，而后续的｛2，a，b｝，｛3，a，b｝，……等等等等，则无法对应。

（a，b为任意自然数，a≠b）

……如此类推。

这一点在有限幂集（封闭幂塔）里是做不到的。

从这个角度来看，在广义连续统假设成立的情况下，可以借由阿列夫零的幂集来稍微见证阿列夫一的大小，而无需研究各种可数序数。

某种程度上来说，这好像就是可数序数的一种表现形式……算了不管了，既然阿列夫零是所有自然数的集合，那么恒等价于其幂集的幂塔的第一层，既然第一层都存在“可数序数”这种nb体系，那么第二层、第三层、……等等等等，也理应存在比可数序数还要nb的体系，就如同一元函数与之多元下标函数一般，嗯，而这一切远小于阿列夫一，而阿列夫一里也存在“序数体系”，这种序数体系自然要比可数序数、自然幂塔的序数体系、……等等等等，都还要nb，而阿列夫一也存在幂集，也就是说也存在幂塔，自然也可以如此类推，而阿列夫一的幂集也存在幂集，自然也存在幂塔………………如此无止境无休止类推。

任意无限集、阿列夫、贝斯、大基数、数学宇宙、…………、妄想序列、………………、无止境无休止、………………等等等等的幂塔皆是如此，皆是开放幂塔，第n+1层严格永远恒凌驾于第n+1层，而有限集皆为封闭幂塔，封闭幂塔是第二层恒凌驾于其余层。

定义计算器或计数器：

φ（0）＝无限，φ（1）＝无止境无休止，……

φ（0）＝无穷无尽，φ（1）＝无止境无休止，……