第35章 35.X**X
【例5】设f（x）为连续函数，且limf（x）/x=1（x→0），求lim【f（x）∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）】/【∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）】（x→0）。
思路分析：这是一道积分上限函数求极限的问题，因为分子分母都有积分上限函数，所以需要分开化简，最后合并，再利用洛必达法则求解。
∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫f（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=-∫f（u）du（sx=0，xx=x）=∫f（u）du（sx=x，xx=0）.
∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫tf（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=-∫（x-u）f（u）du（sx=0，xx=x）=∫（x-u）f（u）du（sx=x，xx=0）=x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）.
∴原式=lim【f（x）∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
=lim【f（x）/x】·【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
=lim【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
=lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）-xf（x）】（x→0）
=lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
=lim【1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）+f（x）/x】/1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
lim1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
=1/2limf（x）/x（x→0）
=1/2
∴lim【f（x）∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）】/【∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）】（x→0）=【1/2+1】/1/2=3
解：∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫f（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=∫f（u）du（sx=x，xx=0）.
∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）=-∫tf（x-t）d（x-t）（sx=x，xx=0）=∫（x-u）f（u）du（sx=x，xx=0）=x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）.
∴原式=lim【f（x）∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
=lim【f（x）/x】·【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
=lim【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）】/【x∫f（u）du（sx=x，xx=0）-∫uf（u）du（sx=x，xx=0）】（x→0）
=lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）-xf（x）】（x→0）
=lim【∫f（u）du（sx=x，xx=0）+xf（x）】/∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
=lim【1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）+f（x）/x】/1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
lim1/x2·∫f（u）du（sx=x，xx=0）（x→0）
=1/2limf（x）/x（x→0）
=1/2
∴lim【f（x）∫f（x-t）dt（sx=x，xx=0）】/【∫tf（x-t）dt（sx=x，xx=0）】（x→0）=【1/2+1】/1/2=3
题型五：左右极限的问题
【例1】f（x）={1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}，讨论limf（x）（x→1）。
思路分析：由2的【1/（x-1）】次方和2的【2/（x-1）】次方，这道题得在x→1-和x→1+两个方向讨论极限。
f（1-0）=lim{1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}（x→1-）
当x→1-时，x-1→0-，1/（x-1）→-∞，2的【1/（x-1）】次方→0，所以上式=1/2
f（1+0）=lim{1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}（x→1+）
当x→1+时，x-1→0+，1/（x-1）→+∞，2的【1/（x-1）】次方→+∞，所以上式=0
因为f（1-0）≠f（1+0），所以limf（x）（x→1）不存在。
解：f（1-0）=lim{1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}（x→1-）=1/2
f（1+0）=lim{1-2的【1/（x-1）】次方}/{2+2的【2/（x-1）】次方}（x→1+）=0
∵f（1-0）≠f（1+0），∴limf（x）（x→1）不存在。
注意：当x→1+时，2的【1/（x-1）】次方→+∞，2的【2/（x-1）】次方→+∞，但后者相当于2的【1/（x-1）】次方·2的【1/（x-1）】次方。
【例2】求lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/|x|}（x→0）
思路分析：这道题同上例1，题目中都出现了e的1/x次方的指数形式。
f（0-0）=lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/|x|}（x→0-）=lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的1/x次方）】-sinx/x}（x→0-）
当x→0-时，1/x→-∞，e的1/x次方→0，e的4/x次方→0，且limsinx/x（x→0-）=1，所以上式=2/1-1=1。
又f（0+0）=lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/|x|}（x→0+）=lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/x}（x→0+）
当x→0+时，1/x→+∞，e的1/x次方→+∞，e的4/x次方=e的1/x次方·e的1/x次方·e的1/x次方·e的1/x次方→+∞＞＞e的1/x次方，且limsinx/x（x→0+）=1，所以上式=0+1=1。
∵f（0-0）=f（0+0）=1，∴lim{【（2+e的1/x次方）/（1+e的4/x次方）】+sinx/|x|}（x→0）=1
解题步骤同上。
题型六：极限的存在问题。
解题工具：夹逼定理和单调有界必有极限。
常见题型：数列极限的存在性问题。
解题工具：①数学归纳法②判断an+1-an的符号得单调性③导数法，由递推关系式an+1=f（an）来确定，令an+1=y，an=x，转化为y=f（x）的函数形式。如果导数大于零，则数列单调，再由a1和a2的大小关系确定单调递增还是递减。④先求极限，再证明极限存在。⑤用递推关系式求出数列表达式，再求极限。
【例1】设0＜a1＜π，an+1=sinan，①证明：liman（n→∞）存在，并求极限。②求lim（an+1/an）的1/an2次方（n→∞）。
思路分析：题目中已经给出了递推关系式，所以优先考虑用导数法求解。
显然，an＞0，令y=sinx，y’=cosx，仅凭an≥0中不能判断y’的正负，所以导数法失效。
当x＞0时，sinx＜x，所以an+1=sinan＜an，所以数列{an}单调递减，又因为an＞0有下界，所以数列{an}极限存在。
令liman（n→∞）=A，则由an+1=sinan得，A=sinA，解得A=0，所以liman（n→∞）=0
lim（an+1/an）的1/an2次方（n→∞）=lim（sinan/an）的1/an2次方（n→∞）
令x=an，则当n→∞时，an→0，x→0，所以原式化为：lim（sinx/x）的1/x2次方（x→0）=lim{【1+（sinx-x）/x】的【x/（sinx-x）】次方}的【（sinx-x）/x3】次方（x→0）
=lime的【（sinx-x）/x3】次方（x→0）
=e的lim（sinx-x）/x3次方（x→0）
=e的lim（cos-1）/3x2次方（x→0）
=e的lim（-1/2·x2）/3x2次方（x→0）
=e的-1/6次方。
解：（1）显然，an＞0，当x＞0时，sinx＜x，所以an+1=sinan＜an，所以数列{an}单调递减，又因为an＞0有下界，所以数列{an}极限存在。
令liman（n→∞）=A，则由an+1=sinan得，A=sinA，解得A=0，所以liman（n→∞）=0
二lim（an+1/an）的1/an2次方（n→∞）=lim（sinan/an）的1/an2次方（n→∞）
令x=an，则当n→∞时，an→0，x→0，
所以lim（sinx/x）的1/x2次方（x→0）=lim{【1+（sinx-x）/x】的【x/（sinx-x）】次方}的【（sinx-x）/x3】次方（x→0）
=lime的【（sinx-x）/x3】次方（x→0）
=e的lim（sinx-x）/x3次方（x→0）
=e的lim（cos-1）/3x2次方（x→0）
=e的lim（-1/2·x2）/3x2次方（x→0）
=e的-1/6次方。